| 「ユークリッド幾何学」 とは紀元前 3世紀 頃のギリシャの数学者ユークリッドが体系化した幾何学であって、平行線公準（平行線は交わらない）など
「5つの公準（公理）」 を基礎として平面や空間における図形の性質を証明する幾何学である。
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| 「非ユークリッド幾何学」 とはユークリッド幾何学の
「平行線公準（平行線は交わらない）」 を否定し、球面や鞍面のような曲がった空間を扱う幾何学である。 三角形の内角の和が 180度
にならず、平行線が交わる（球面）、または発散する（双曲面）特性を持ち、アインシュタインの相対性理論やGPSの計算に応用される。
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| 「リーマン幾何学」 とはベルンハルト・リーマンが構築した空間が湾曲していることを前提として、曲がった空間における
「長さ」 や 「曲がり具合（曲率）」 を数学的に記述する幾何学である。 以下は 第727回 「リーマン幾何学」 からの抜粋である。
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アインシュタインの一般相対性理論の完成に最大の貢献をしたのは純粋数学者、リーマンによって創られた
「リーマン幾何学」 である。 彼はアインシュタインと似て 「一般主義者」 であり、面倒な細部は敬して遠ざけ、抽象化と一般化をめざすことを旨とした。
天才たる所以である。
空間とは幾何学であり、リーマンはいかなる空間の幾何学にも普遍的に通じる表現手段を求めた。 リーマンはそれが 「距離（計量とも呼ばれる）の概念」
であることを予見したのである。 平坦なユークリッド空間での2点間の最短距離は、直角三角形における x 軸方向の距離を a とし、y
軸方向における距離を b とした場合、斜辺の c である。 リーマンの天才は空間が平坦でない場合にまで、この “ 距離 ” を一般化させたことにある。
空間は曲がっているので、直角がもはや直角ではなく、角度 φ である場合、ピタゴラスの定理は、 ｃ2=ａ2＋ｂ2
から ｃ2=ａ2＋ｂ2−2ab cosφ に一般化されると、あらゆる空間での2点間の無限小の距離を測る関数を定義したのである。
リーマン幾何学の要点は言ってみればこれだけである。 のちにこの計量の概念は、まったく新しい理論 「微分幾何学」 を生むことになるのだが、悲しいかな虚弱体質であったリーマンにはそれほど時間がのこされてはいなかった。
1866年7月、北イタリアのマジョーレ湖畔の別荘で肺病に倒れ、39歳でこの世を去った。
イギリスの天文物理学者、アーサー・エディントンは 「リーマンのような幾何学者であれば、実世界のもっと重要な特性をほとんど予見してしまってもおかしくない」
と夭折の天才数学者の運命を惜しんだ。
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